Wiskundig modelleren: “Aannames maken vinden ze moeilijk”

Sevinҫ werkt als wiskundedocent op het Marcanti College in Amsterdam. Even verliet ze het onderwijs om haar wiskundige talenten in te zetten voor het bedrijfsleven. Maar ze miste haar leerlingen. Ze zit nu weer stevig op haar plek in de school en promoveert met de lerarenbeurs op een doorgaande lijn wiskundig modelleren voor de onderbouw havo en vwo. Ook voor vmbo-leerlingen is dit ‘onderzoekend denken’ relevant en geschikt, vindt ze. Ze heeft elementen ervan uitgeprobeerd met haar eigen leerlingen vmbo-basis en -kader en theoretische leerweg. Ook zij konden ermee uit te voeten. Op termijn moet ook voor hen een aanbod komen.

Het is leuk en nuttig onderzoek waar Sevinҫ mee bezig is. In de kern gaat het hierom: leerlingen moeten leren om een probleem te verwoorden, dat probleem te vertalen naar rekenacties, formules en uiteindelijk naar wiskundige modellen, en de uitkomsten van al die rekenarij weer terug te vertalen naar de werkelijkheid. Tussendoor leren ze kritische validaties te plegen; is het logisch wat ik als (deel)uitkomsten krijg? (Die snelheid van 120 km per uur kan nooit kloppen…) En met dat model kun je weer verder werken. Het is iets anders dan sommen oplossen of formules toepassen. Sevinҫ: “Het is al langer relevant, werken met en begrijpen van modellen, zeker in deze tijd van meten. Maar het onderwerp is echt gaan leven na Covid. Iedereen werd toen ineens geconfronteerd met allerlei weergaves en modellen. In de onderbouw maken de leerlingen nog niet echt een model, maar daar werken we wel naartoe, inclusief de bijbehorende onderzoekende houding: is dit een goed model? Hoe zou je het kunnen aanpassen? Welke aannames zijn er gemaakt? Welke factoren kun je bijstellen?

Bij modelleren vraagt om taalvaardigheid, om rekenvaardigheden en om wiskundig en onderzoeksmatig denken. Sevinҫ: “Wat ik verrassend vond is dat leerlingen in groep 8 vrij gemakkelijk aan de slag te gingen, terwijl de leerlingen uit de onderbouw konden vastlopen in de vraag: welke wiskunde moet ik hier nu voor gebruiken? Dit is een rare opdracht, ik heb niet alle informatie. Die hadden als het ware de ballast van wat ze al van wiskunde wisten. Maar modelleren is echt iets anders.”

De vernieuwingscommissie Wiskunde (CTWO) definieerde modelleren in 2015 als ‘een praktisch en creatief proces waarbij realistische problemen in wiskundige vorm worden vertaald’. In een brugklas resulteert dat bijvoorbeeld in de volgende opdracht. In jouw lokaal wordt een dansfeest georganiseerd. Bereken of er genoeg ruimte is om te dansen. Teken een plattegrond van het lokaal zoals deze er voor het feest uit kan zien. Zo’n opdracht maakt direct veel duidelijk.

Sevinҫ: “Ten eerste merk je direct dat leerlingen dit samen willen doen. Ze willen het er met elkaar over hebben. Sommigen begonnen elkaar zelfs al op te meten. Gaandeweg bleek ook dat leerlingen meer context nodig hadden en een rijkere introductie. We gaan ervan uit dat de leerlingen kunnen rekenen met afstanden, verhoudingen, zaken kunnen omrekenen. De basisvaardigheden zeg maar. Maar op deze manier zijn ze nog nooit aan de slag geweest. Ze hebben ook sterk de neiging om direct dingen op te gaan zoeken. Typisch voor deze tijd. Als ze uiteindelijk met een resultaat komen, zie je ook dat taal en context belangrijk zijn. Zo was er een meisje dat een plattegrond inleverde waarop alle tafeltjes en stoelen in groepjes in het lokaal stonden. Toen ik vroeg waarom zij die had laten staan, werd duidelijk dat het enige feest op school dat zij had meegemaakt het kerstdiner was. Voor haar was een schoolfeest een kerstdiner. Ook voor leraren is deze manier van werken wennen. Er is niet één goed antwoord, de waardering van zo’n opdracht ligt in het gesprek dat je voert over de oplossingen.”

In het onderzoek is ervoor gekozen om samenwerkend leren in de didactiek centraal te stellen. Het beantwoordt niet alleen aan de behoefte van de leerlingen, zegt Sevinҫ. Samenwerken zorgt er ook voor dat leerlingen elkaar helpen in het scherp krijgen van de bedoeling van de opdracht en dat ze hun ervaringen met het onderwerp kunnen delen. Zo hebben ze steun aan elkaar. Het misverstand bij het meisje van het kerstdiner zou al snel de wereld uit zijn geholpen. Samenwerken helpt ook bij het ontwikkelen van de taalvaardigheid en het terugvertalen naar de werkelijkheid. Het laten opzoeken is omwille van het onderzoek niet gedaan, om niet terloops ook ‘opzoekvaardigheid’ te meten. Maar in principe kan dat natuurlijk wel.

Sevinҫ: “Nieuw voor de onderbouwleerlingen is het zelf maken van aannames. Ze zijn gewend om alle informatie uit de opdrachttekst te halen. Maar nu moeten ze er zelf dingen bij gaan bedenken. Hoe snel loopt een mens? Hoeveel weegt een volwassen man? Leerlingen vinden dat moeilijk en moeten leren om die denkstappen zelf te gaan maken.”

Moeilijk of niet, de leerlingen vinden het wel heel leuk. Sevinҫ: “Ze vinden het leuk om op een andere manier met wiskunde bezig te zijn. Ze hoeven niet meer te vragen: waarom heb ik dit nodig? Want het zijn onderwerpen uit het dagelijks leven. Ze beseffen ineens dat het leven vol zit met kwesties die om dit soort denken vragen. Ook de leraren zijn enthousiast en noemen het een verrijking van hun wiskunde. Dat zijn wel de leraren die mee wilden doen aan mijn onderzoek, natuurlijk. Er waren ook veel leraren die het wel interessant vonden maar er geen tijd voor konden maken. Eigenlijk best jammer dat je zo vast zit in je methode dat je met je leerlingen niet iets anders aan durft te gaan.”

Nog even terug naar de taal. Kale sommen of verhaaltjessommen. Gewoon wiskundige berekeningen laten maken of de opdrachten verpakken in taal, waardoor minder taalvaardige leerlingen het moeilijker hebben. Er wordt al jaren gediscussieerd. Sevinҫ vindt dat leerlingen beide moeten ontwikkelen. “Je hebt het kale rekenen nodig, natuurlijk. Maar een probleem in de werkelijkheid is gewoon contextrijk. Je moet de moeite nemen om dat te begrijpen. Dat taalbegrip moet bij leerlingen ontwikkeld worden. Een wiskundedocent is ook echt een taaldocent. Elke leraar is een taaldocent.” Sevinҫ zag in haar onderzoek ook vaak dat leerlingen snel geholpen worden door het antwoord te geven. “Misschien komt het door de tijdsdruk, of door de volle klas. Je kunt beter beginnen om de leerling te helpen de opdracht te begrijpen, ook wat betreft de taal die wordt gebruikt.”

Sevinҫ werkt op dit moment de data uit van haar experimentele onderzoek. Onderdeel van de opbrengsten van haar onderzoek zal een lessenserie zijn voor de onderbouw. We hopen daar volgend jaar meer over te kunnen vertellen.